Ing. Aaron Nestor Mamani Villca - R.N.I. 49393
Es Ingeniero Electrónico de la Universidad Mayor de San Andrés.
RESUMEN
Este trabajo presenta el diseño de controladores óptimos multivariables desarrollado a partir de un modelo descrito en el espacio de pseudoestados. Se describe con brevedad la representación de sistemas en el espacio de pseudoestados. El algoritmo de control se diseña considerando un sistema MIMO lineal invariante en el tiempo. Posteriormente, se verifica el funcionamiento del controlador mediante simulación. El enfoque del espacio de pseudoestados se extiende fácilmente a sistemas de control no lineales, adaptativos y de modelo predictivo.
PALABRAS CLAVE. Control moderno, control óptimo, espacio de pseudoestados, control digital, sistemas MIMO, control multivariable, controlador LQR.
INTRODUCCIÓN
Existen varios retos en la ingeniería de control, siendo uno de ellos el análisis y diseño de sistemas de control multivariable. Los controladores para sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) suelen requerirse con bastante frecuencia en los sistemas eléctricos, sistemas robóticos, sistemas industriales y demás. Usualmente el problema del control multivariable es considerado difícil debido a la existencia de una interacción intrínseca entre las entradas y las salidas y una gran cantidad de parámetros.
El control óptimo es un recurso muy conveniente al momento de diseñar sistemas de control que presenten una gran cantidad de parámetros. El problema de síntesis se formula como la minimización de un criterio que es una función cuadrática de los pseudoestados y de las señales de control; el método de diseño óptimo supone escribir esta función cuadrática llamada función costo. Por consiguiente, el procedimiento de diseño óptimo minimiza la función costo.
La ventaja del control óptimo por realimentación de pseudoestados respecto al control clásico reside en que el primero utiliza la evolución de las variables del sistema, en cambio la estructura clásica necesita la construcción de elementos de derivación o integración puros. En sistemas complejos el control óptimo puede realizar un control más potente que el que realiza el regulador PID, el cual solamente actúa sobre la señal de error de la salida y la referencia.
ESPACIO DE PSEUDOESTADOS
Para el diseño del controlador se utilizará el modelo del espacio de pseudoestados. A continuación, se escribe un sistema MIMO lineal invariante en el tiempo.
Donde se sigue la siguiente nomenclatura: uk es el vector de entrada de dimensión , yk es el vector de salida de dimensión , xk es el vector de pseudoestado de dimensión m, es la matriz de pseudoestado de dimensión m×m, es la matriz de entrada de dimensión m×μ, es la matriz de salida de dimensión ν×m. El valor de m depende de la dimensiones y , teniendo la equivalencia m=nμ+ν; n es el orden del sistema. El modelo de pseudoestados no es tan restrictivo como el modelo de estados. El vector de pseudoestados tiene la siguiente estructura.
Los matrices parámetros Bi y Aj, donde i=0,…,n y j=1,…,n, son matrices de coeficientes de dimensiones ν×μ y ν×ν respectivamente. Se consideran las siguientes definiciones.
Notar que el vector de pseudoestados xk no es de dimensión mínima, por lo que no se refiere a este como un vector de estados convencional, de aquí el nombre de pseudoestados.
DISEÑO DEL CONTROLADOR
En el control óptimo es fundamental la elección de un índice de desempeño que determine el desempeño del sistema y la complejidad del problema del control óptimo. La elección más popular para dicho índice es una función cuadrática de las variables de pseudoestado y las entradas de control. Consideramos el siguiente índice de desempeño para un horizonte de planificación infinito.
Las matrices Q y R pueden seleccionarse para penalizar ciertos pseudoestados o entradas más que otros. Las matriz Q debe ser semidefinida positiva con dimensión m×m, y la matriz R debe ser definida positiva con dimensión μ×μ. La solución referente al índice de desempeño de (7) viene dada por las siguientes expresiones con la condición de que el sistema sea estabilizable.
La ecuación (8) se conoce como la ecuación algebraica de Riccati de tiempo discreto. Mediante una selección apropiada de los coeficientes de las matrices de peso se establece el compromiso entre la varianza de la salida y la energía utilizada para el vector de acciones de control.
Si bien la ley de control óptima estabiliza al sistema, esta no contempla el seguimiento a una referencia. Para resolver el problema de seguimiento se realizará el diseño de un controlador óptimo en base al esquema de la figura 1.
Figura 1. Sistema de control con realimentación de pseudoestados y acción integral.
De acuerdo a la anterior configuración tendremos la realimentación del vector de pseudoestados y la realimentación de la salida para el control integral.
El sistema de seguimiento tiene la siguiente ecuación.
La formulación del control óptimo vista previamente puede ser realizada con las matrices y . La dimensión de la matriz de peso Q incrementa al penalizar también la acción integral.
SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR
En esta sección la simulación se llevará a cabo con el sistema TITO de tanques interconectados Feedback 33-230; las señales manipuladas controlan unas bombas y las variables de salida son los niveles de los tanques. El modelo de fase mínima se escribe a continuación (R. Ramírez, 2012).
Se requiere dicretizar el anterior modelo, entonces se elige un periodo de muestreo de diez segundos. Empleando el esquema de control de la figura 1, se penaliza con las matrices de peso R=I2 y Q=diag10, 10, 0, 0, 0, 0, 1, 1. Luego de resolver la ecuación algebraica de Riccati se encuentra la matriz de realimentación de pseudoestado y la matriz de ganancia integral.
La simulación del sistema de control se presenta en la figura 2. El vector referencia es marcado con líneas punteadas en la gráfica izquierda. Inicialmente, la señal de referencia es ajustada como rT=69 48 , a los cinco minutos la referencia es modificada a rT=58 37 .
Figura 2. Respuesta del sistema y variable de control del modelo de tanques acoplados.
CONCLUSIÓN
El esquema de control óptimo multivariable planteado y ejemplificado en la simulación de tanques acoplados es una alternativa recomendable para una implementación debido a que el algoritmo de control puede ser programado cómodamente en un computador o microcontrolador.
Con la representación en el espacio de pseudoestados se logra resolver el problema del control multivariable. Asimismo, este enfoque es extensible para diseñar sistemas de control no lineales, adaptativos, robustos y predictivos; por lo tanto, el trabajo es una sugerencia sobre los últimos resultados de investigación en el campo del control.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- A. Mamani, Control en el Espacio de Pseudoestados, La Paz, 2022.
- A. Aguado y M. Martínez, Identificación y Control Adaptativo, Prentice Hall, 2003.
- A. Mamani, “Sistema de Seguimiento con Realimentación del Pseudoestado y Acción Integral,” ELECTROMUNDO, no. 95, pp. 76-82, 2022.
- A. Aguado, “Algoritmo de Control Predictivo-Adaptable en el Espacio de Pseudo-Estados,” Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial, vol. 3, no. 1, pp. 52-56, 2006.
- M. Fadali y A. Visoli, Digital Control Engineering, 2nd ed., Prentice Hall, 2013.
- R. Ramírez, “Análisis Dinámico y Control Multivariable del Sistema de Tanques Interconectados Feedback 33-230,” Universidad de Costa Rica, 2012.
- K. Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, 2nd ed., Prentice Hall Hispanoamericana, 1996.
V. Exadaktylos, C. Taylor y A. Chotai, “Model Predictive Control Using a Non-Minimal State Space Form with an Integral-Of-Error State Variable,” UKACC International Conference on Control 06, Paper-72, 2006.